다음 문제를 풀어보자. 다음 문제는 '최대공약수'를 이용해서 풀면 된다. 왜일까?
"가로 길이가 90cm, 세로 길이가 126cm인 큰 직사각형 종이가 있다. 이 큰 직사각형 종이를, 남는 부분없이 가능한 한 큰 정사각형 모양의 종이로 잘라 내려고 한다. 잘라낼 수 있는 정사각형의 한 변의 길이는 몇 cm로 하면 될까?"
정답은 .... 저~~~~ 아래에!
정답은...
우선, 이 문제가 묻는 것은, 큰 직사각형 종이를 잘라야 하는데, 가능한 한 큰 정사각형 모양으로 잘라내야 한다는 것이다. 이 정사각형의 한 변의 길이는, 위 문제에 주어진 숫자들보다 커야 하는가? 작아야 하는가? 당연히 작거나 같아야 한다. '작거나 같으면'??? 위 두 숫자들의 최대공약수를 구하는 문제라고 보면 된다.
따라서, 큰 직사각형의 가로와 세로의 길이인 90과 126의 최대공약수인 18cm를 한 변으로 하는 정사각형 모양으로 잘라내면 가장 큰 정사각형으로 잘라낼 수 있다.
[배선생수학교실]
이제, 주어진 문제를 읽고, 어떤 여러 개 자연수의 최대공약수를 구해야 하는 문제를 살펴보자.
가장 보편적인 문제로는 다음과 같은 문제가 있다.
"지우개 18개와 공책 24개가 있다. 이 지우개와 공책들을 가능한 한 많은 학생들에게 남김없어 똑같이 나누어 주려고 한다. 몇 명의 학생들에게 나누어 줄 수 있을까?"
여기서, 우리는 한 가지 고민에 직면한다. 과연 이 문제를 푸는데, 최대공약수를 구해야 하는지, 최소공배수를 구해야 하는지...
물론, 이 문제에는 '가능한 한 많은'이라는 문구가 들어가 있기 때문에, 대부분의 문제집에서 알려주듯이, 이 문제는 '최대공약수'를 구해서 문제를 해결하는 문제가 맞다.
하지만, 여기서는 저러한 특정 문구에 구애받지 않고, 전체적인 맥락에서 문제를 해결할 것이다.
그에 앞서, 우선 우리가 약수에 관해 알아야 할 가장 기본적인 내용을 한 번 짚고 넘어가자.
어떤 자연수의 약수는 그 자연수와 같거나, 작다. 즉, 12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12이다. 즉, 12는 12의 약수보다 작거나 같다는 내용이다.
이제, 위의 문제를 한 번 풀어보자.
1. 지우개 18개와 공책 24개를 몇 명의 학생들에게 나누어 주는데, 어쨋든 똑같은 갯수로 나누어 주어야 한다.
2. 그렇다면, 그 학생수는 24보다 작거나, 18보다 작아야 한다. 그래야만 그 몇 명의 학생들에게 최소한 1개씩이라도 줄 수 있기 때문이다.
3. 그런데, 여기서 만약 18<학생수<24라고 하면, 지우개를 못 받는 학생도 있을 것이다. 이는 문제에서 밝힌 조건(지우개와 공책을 똑같이 나누어준다.)에 맞지 않는다. 따라서, 학생수는 18보다 작거나 같아야만, 어쨋든 학생들이 최소한 지우개와 공책을 1개씩은 받을 수 있게 된다.
4. 자~ 여기까지 제대로 쫒아왔다면, 이제 문제는 다 푼것이다.
5. 내가 구해야 하는 학생수는 18보다 작아야 하고, 24보다도 작아야 하며, 이는 결국 18보다 작아야 한다는 것을 알 수 있다.
5. 또한, 지우개나 공책이나 나누어주고 남는 것이 없어야 하므로, 학생수는 18 나누기 (학생수)를 해도 나누어 떨어져야 하고, 24 나누기 (학생수)를 해도 나누어 떨어져야 한다.
6. 즉, 학생수는 18보다 작고, 18과 24로 나누어도 모두 떨어져야 한다.
7. 내가 구해야 하는 학생수가 '18보다 작고, 24보다 작다'에서 이미, 이 문제는 최대공약수를 사용해서 풀어야 한다라는 것을 알 수 있다.
8. 왜냐하면, 우리가 알고 있듯이, 어떤 수의 약수는 그 수보다 작거나 같기 때문이다.
9. 우리는 두 수의 약수를 구해야 하고, 두 수의 약수에서 우리가 구해야 하는 것은 공약수이고, 공약수 중에서도 최대공약수를 구해야 한다.
10, 따라서, 18과 24의 최대공약수는 6이므로, 최대한 6명의 학생들에게 지우개 3개씩, 공책 4권씩 나누어주면 된다는 것을 알 수 있다.
이렇게 풀면 되는데... 아마 이 글을 보는 학생들이라면, '아니, 언제 저렇게 10단계씩이나 걸쳐서 문제를 푸나? 안 그래도 문제 풀 시간이 없구만~'. 맞다!!!
여기서, 문제 해결책의 촛점은, 내가 구해야 하는 수가 문제에 주어진 수보다 커야 하는지, 아니면 작아야 하는지를 빨리 결정하면 된다는 것이다.
내가 구해야 하는 수가 문제에 주어진 수들보다 커야 한다면, 그 문제는 최소공배수를 이용해서 풀 수 있고, 문제에 주어진 수들보다 작아야 한다면, 그 문제는 최대공약수를 이용해서 풀 수 있다.
[배선생수학교실]
교과서 또는 각종 문제집에서는, '최대공약수의 활용' 또는 '최소공배수의 활용'에 대한 문제들을 많이 다루고 있다.
이 때 대부분의 문제집에서는, 학생들에게 다음과 같이 알려준다.
"문제에서 '가능한 한 많은', '가장 큰', '최대한' 등의 문구가 들어가면 최대공약수를 구하고, 그 반대로 '가능한 한 작은', '되도록 작게' 등의 문구가 들어가면 최소공배수를 구하면 된다."
자, 여기서 한 번 살펴보자.
만약, 최대공약수 또는 최소공배수를 구하는 문제인데, 그 문제에 위와 같은 문구들이 저 문구 그대로 들어가 있지 않다면 어떻게 할 것인가? '가장 큰'이 아니라 '제일 크게'라고 한다면? 버스(또는 기차 등)의 다음 동시 출발시간을 묻는 문제에서는 '가장 큰'이나 '되도록 작게'라는 단어가 전혀 포함되지 않는데, 이 경우에는 어떻게 해야 할까?
주어진 문제를 풀 때, 최대공약수를 구할것인지, 최소공배수를 구해야 할 것인지를 판단하기 위해서는, 기계적으로 문제에 포함되는 문구에 따라 정할 것이 아니라, 문제 속에서 전체적인 맥락에 따라 바로 판단을 하고 계산을 하는 것이 더 효율적일 것이다. 당연하게도!
그렇다면, 어떻게 '문제속에서 전체적인 맥락'을 짚어낼 것인가?
이는 다음 수학이야기에서 다룰 예정이다.
[배선생수학교실]
