1. 전쟁은 일어나지 않는다는 착각 / 이진우 저 / 휴머니스트 / 대여(소래빛도서관) / 2023.01.01(일)
2023년 1월 1일 일요일
2022년 12월 13일 화요일
2022년 읽은 책들...
1. 삶을 위한 수업:행복한 나라 덴마크의 교사들은 어떻게 가르치는가 / 마르쿠스 베르센 저, 오연호 역 / 오마이북 / 대여(대야도서관) / 2022.01.19(화)
2. 거꾸로 가는 쿠바는 행복하다 / 배진희 저 / 시대의창 / 대여(소래빛도서관) / 2022.01.26(수)
3. 당쟁의 한국사:고조선부터 현대까지, 대립과 파벌의 권력사 / 김종성 저 / 을유문화사 / 대여(대야도서관) / 2022.02.07(월)
4. 스페인은 건축이다 / 김희곤 저 / 오브제 / 대여(대야도서관) / 2022.02.08(화)
5. 아름다운 우리 절을 걷다 / 탁현규 저 / 지식서재 / 대여(소래빛도서관) / 2022.03.23(수)
6. 역사를 품은 수학, 수학을 품은 역사 / 김민형 저 / 21세기북스 / 대여(소래빛도서관) / 2022.03.28(월)
7. 국가는 왜 실패하는가 / Daron Acemoglu, James A. Robinson 저, 최완규 역, 장경덕 감수 / 시공사 / 대여(소래빛도서관) / 2022.04.20(수)
8. 바람이 분다, 살아야겠다 철학자 강신주 생각과 말들 / 강신주, 지승호 저 / EBSBOOKS / 구입(yes24) / 2022.04.22(금)
9. 가불선진국, 연대와 공존, 사회권 선진국을 위한 제언 / 조국 저 / 메디치미디어 / 구입(yes24) / 2022.05.03(화)
10. 그냥, 2200km를 걷다 : 르퓌에서 산티아고 그리고 리스본까지 86일간 여정 / 김응용 저 / 지성사 / 대여(대야도서관) / 2022.08.08(월)
11. 유럽도시기행2 / 유시민 저 / 생각의길 / 구입(yes24) / 2022.09.23(금)
12. 내가 틀릴 수도 있습니다 / 비욘 나티코 린데블라드(Bjorn Natthiko Lindeblad) 저, 토마스 산체스(Tomas Sanchez) 그림, 박미경 역 / 다산초당 / 구입(yes24) / 2022.10.23(일)
13. 청년 붓다 / 고미숙 저 / 북드라망 / 대여(소래빛도서관) / 2022.12.25(일)
2022년 10월 16일 일요일
[수학이야기/중1-1] 최대공약수? 최소공배수? 어떤 걸 구해야 하지??? 최대공약수!!! (3/N)
다음 문제를 풀어보자. 다음 문제는 '최대공약수'를 이용해서 풀면 된다. 왜일까?
"가로 길이가 90cm, 세로 길이가 126cm인 큰 직사각형 종이가 있다. 이 큰 직사각형 종이를, 남는 부분없이 가능한 한 큰 정사각형 모양의 종이로 잘라 내려고 한다. 잘라낼 수 있는 정사각형의 한 변의 길이는 몇 cm로 하면 될까?"
정답은 .... 저~~~~ 아래에!
정답은...
우선, 이 문제가 묻는 것은, 큰 직사각형 종이를 잘라야 하는데, 가능한 한 큰 정사각형 모양으로 잘라내야 한다는 것이다. 이 정사각형의 한 변의 길이는, 위 문제에 주어진 숫자들보다 커야 하는가? 작아야 하는가? 당연히 작거나 같아야 한다. '작거나 같으면'??? 위 두 숫자들의 최대공약수를 구하는 문제라고 보면 된다.
따라서, 큰 직사각형의 가로와 세로의 길이인 90과 126의 최대공약수인 18cm를 한 변으로 하는 정사각형 모양으로 잘라내면 가장 큰 정사각형으로 잘라낼 수 있다.
[배선생수학교실]
[수학이야기/중1-1] 최대공약수? 최소공배수? 어떤 걸 구해야 하지??? 최대공약수!!! (2/N)
이제, 주어진 문제를 읽고, 어떤 여러 개 자연수의 최대공약수를 구해야 하는 문제를 살펴보자.
가장 보편적인 문제로는 다음과 같은 문제가 있다.
"지우개 18개와 공책 24개가 있다. 이 지우개와 공책들을 가능한 한 많은 학생들에게 남김없어 똑같이 나누어 주려고 한다. 몇 명의 학생들에게 나누어 줄 수 있을까?"
여기서, 우리는 한 가지 고민에 직면한다. 과연 이 문제를 푸는데, 최대공약수를 구해야 하는지, 최소공배수를 구해야 하는지...
물론, 이 문제에는 '가능한 한 많은'이라는 문구가 들어가 있기 때문에, 대부분의 문제집에서 알려주듯이, 이 문제는 '최대공약수'를 구해서 문제를 해결하는 문제가 맞다.
하지만, 여기서는 저러한 특정 문구에 구애받지 않고, 전체적인 맥락에서 문제를 해결할 것이다.
그에 앞서, 우선 우리가 약수에 관해 알아야 할 가장 기본적인 내용을 한 번 짚고 넘어가자.
어떤 자연수의 약수는 그 자연수와 같거나, 작다. 즉, 12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12이다. 즉, 12는 12의 약수보다 작거나 같다는 내용이다.
이제, 위의 문제를 한 번 풀어보자.
1. 지우개 18개와 공책 24개를 몇 명의 학생들에게 나누어 주는데, 어쨋든 똑같은 갯수로 나누어 주어야 한다.
2. 그렇다면, 그 학생수는 24보다 작거나, 18보다 작아야 한다. 그래야만 그 몇 명의 학생들에게 최소한 1개씩이라도 줄 수 있기 때문이다.
3. 그런데, 여기서 만약 18<학생수<24라고 하면, 지우개를 못 받는 학생도 있을 것이다. 이는 문제에서 밝힌 조건(지우개와 공책을 똑같이 나누어준다.)에 맞지 않는다. 따라서, 학생수는 18보다 작거나 같아야만, 어쨋든 학생들이 최소한 지우개와 공책을 1개씩은 받을 수 있게 된다.
4. 자~ 여기까지 제대로 쫒아왔다면, 이제 문제는 다 푼것이다.
5. 내가 구해야 하는 학생수는 18보다 작아야 하고, 24보다도 작아야 하며, 이는 결국 18보다 작아야 한다는 것을 알 수 있다.
5. 또한, 지우개나 공책이나 나누어주고 남는 것이 없어야 하므로, 학생수는 18 나누기 (학생수)를 해도 나누어 떨어져야 하고, 24 나누기 (학생수)를 해도 나누어 떨어져야 한다.
6. 즉, 학생수는 18보다 작고, 18과 24로 나누어도 모두 떨어져야 한다.
7. 내가 구해야 하는 학생수가 '18보다 작고, 24보다 작다'에서 이미, 이 문제는 최대공약수를 사용해서 풀어야 한다라는 것을 알 수 있다.
8. 왜냐하면, 우리가 알고 있듯이, 어떤 수의 약수는 그 수보다 작거나 같기 때문이다.
9. 우리는 두 수의 약수를 구해야 하고, 두 수의 약수에서 우리가 구해야 하는 것은 공약수이고, 공약수 중에서도 최대공약수를 구해야 한다.
10, 따라서, 18과 24의 최대공약수는 6이므로, 최대한 6명의 학생들에게 지우개 3개씩, 공책 4권씩 나누어주면 된다는 것을 알 수 있다.
이렇게 풀면 되는데... 아마 이 글을 보는 학생들이라면, '아니, 언제 저렇게 10단계씩이나 걸쳐서 문제를 푸나? 안 그래도 문제 풀 시간이 없구만~'. 맞다!!!
여기서, 문제 해결책의 촛점은, 내가 구해야 하는 수가 문제에 주어진 수보다 커야 하는지, 아니면 작아야 하는지를 빨리 결정하면 된다는 것이다.
내가 구해야 하는 수가 문제에 주어진 수들보다 커야 한다면, 그 문제는 최소공배수를 이용해서 풀 수 있고, 문제에 주어진 수들보다 작아야 한다면, 그 문제는 최대공약수를 이용해서 풀 수 있다.
[배선생수학교실]
[수학이야기/중1-1] 최대공약수? 최소공배수? 어떤 걸 구해야 하지??? (1/N)
교과서 또는 각종 문제집에서는, '최대공약수의 활용' 또는 '최소공배수의 활용'에 대한 문제들을 많이 다루고 있다.
이 때 대부분의 문제집에서는, 학생들에게 다음과 같이 알려준다.
"문제에서 '가능한 한 많은', '가장 큰', '최대한' 등의 문구가 들어가면 최대공약수를 구하고, 그 반대로 '가능한 한 작은', '되도록 작게' 등의 문구가 들어가면 최소공배수를 구하면 된다."
자, 여기서 한 번 살펴보자.
만약, 최대공약수 또는 최소공배수를 구하는 문제인데, 그 문제에 위와 같은 문구들이 저 문구 그대로 들어가 있지 않다면 어떻게 할 것인가? '가장 큰'이 아니라 '제일 크게'라고 한다면? 버스(또는 기차 등)의 다음 동시 출발시간을 묻는 문제에서는 '가장 큰'이나 '되도록 작게'라는 단어가 전혀 포함되지 않는데, 이 경우에는 어떻게 해야 할까?
주어진 문제를 풀 때, 최대공약수를 구할것인지, 최소공배수를 구해야 할 것인지를 판단하기 위해서는, 기계적으로 문제에 포함되는 문구에 따라 정할 것이 아니라, 문제 속에서 전체적인 맥락에 따라 바로 판단을 하고 계산을 하는 것이 더 효율적일 것이다. 당연하게도!
그렇다면, 어떻게 '문제속에서 전체적인 맥락'을 짚어낼 것인가?
이는 다음 수학이야기에서 다룰 예정이다.
[배선생수학교실]
2022년 9월 30일 금요일
2022년 9월 29일 목요일
[수학이야기/중1-1] 왜 최소공약수와 최대공배수는 안 배울까?
우리는 학교에서 '최소공배수'와 '최대공약수'를 배운다.
'최소'라는 단어가 있다는 것은, '최대'라는 단어 또한 존재한다는 것을 의미한다.
따라서, '최소공배수'가 있다면, '최대공배수'도 있을 것이고,
'최대공약수'가 있다면, '최소공약수'도 있을 것이다.
그런데, 학교에서 이에 대해 배울 때, '최대공배수'와 '최소공약수'는 배우지 않는다.
왜일까?
우선, '최소공약수'부터 알아보자.
모든 자연수의 약수에는 무조건 '1'이 포함된다. 즉, '1은 모든 자연수의 약수이며, 가장 작은 약수이다.'를 뜻한다.
12345의 약수는 1과 12345를 반드시 포함하며, 987654321의 약수는 1과 987654321을 반드시 포함한다. 두 수 12345와 987654321의 공약수 중에서 가장 작은 공약수는 1이다.
이는, 모든 자연수의 공약수 중에서 가장 작은 공약수 즉, '최소공약수'는 1임을 뜻한다.
이러한 사실은 조금만 주의를 기울이면 금방 알 수 있다.
따라서, 학교에서 '최소공약수'를 배우지 않는 이유는?
모두가 알고 있기 때문이다. 모두가 아는 사실을 굳이 배울 필요는 없다.
두 번째, '최대공배수'는 왜?
어떤 자연수들의 최대공배수는 얼마인지 알 수가 없다. 너무 크기 때문이다.
따라서, 아무도 모르는 것을 가르칠 수 없기 때문에, '최대공배수'도 배우지 않는 것이다.
정리하면,
'최소공약수'는 모두가 알고 있는 사실이기 때문에 안 배우고,
'최대공배수'는 아무도 모르기 때문에 가르치지 않는 것이다.
[배선생수학교실]
피드 구독하기:
덧글 (Atom)